Les harmoniques chez les instruments à cordes
Le phénomène physique
Chez
les instruments à cordes, le son est obtenu par excitation de la
corde (pincement, frottement d'un archet...). Un son dit harmonique
peut être produit lorsqu'en addition de cette excitation, un
effleurement est appliqué à certains endroits précis de la corde.
Le timbre qui en résulte est différent du fondamental, d'où son
intérêt musical.
La fréquence du fondamental
Le
fondamental correspond au son obtenu par une excitation simple de la
corde. Elle peut être libre dans toute sa longueur (« corde à
vide »), ou divisée en un point de façon franche (par un
doigt, un capodastre...), l'excitation ne se propage alors que sur
une partie de la corde.
Le
fondamental est considéré comme l'harmonique de rang 1.
La fréquence
fondamentale F du signal (en Hertz, Hz) dépend :
- de la masse linéique µ de la corde (en kilogrammes par mètre, kg/m)
- de la tension T de la corde (en newtons, N)
- de la longueur vibrante L de la corde (en mètres, M)
Nous
pouvons établir le rapport suivant entre des longueurs de cordes l1
et l2 et leurs fréquences respectives f1
et f2 :
Ainsi, si le musicien place son doigt au tiers d'une corde de longueur L, la vibration se restreint alors aux deux tiers restants de la corde (longueur 2 l3) et la fréquence f3 du fondamental devient :
Un
rapport de fréquences de 3/2 correspond à un écart d'une quinte,
donc f3 se situe une quinte plus haute que
F.
L'harmonique de rang 2
En
effleurant la corde à la moitié de sa longueur, nous obtenons la
création d'un nœud à cet emplacement :
La fréquence
f2 de l'harmonique de rang 2 dépend de la
longueur l2 :
Un
rapport de fréquence du simple au double correspond à une octave,
donc l'harmonique de rang 2 est situé une octave au-dessus du
fondamental.
Les harmoniques de rang n
Le
musiciens place à nouveau son doigt au tiers de la corde, mais
uniquement en l'effleurant cette fois-ci. Deux nœuds se créent, et
la corde est alors divisée en trois zones vibrantes de longueur l3
= l1 / 3 :
La fréquence
f3 de l'harmonique de rang 3 est alors :
Le
rapport de fréquence n'est plus de 3/2 comme lorsque le musicien
appuyait franchement sur la corde mais de 3, ce qui correspond à un
intervalle de douzième.
De
la même façon, le musicien peut créer des nœuds en appuyant sur
des divisions entières de la corde (moitié, tiers et deux tiers,
quart et trois quarts, cinquième, deux cinquièmes etc...).
De
façon générale, la fréquence d'un harmonique de rang n par
rapport au fondamental F est :
Le
rang de l'harmonique correspond donc directement au rapport de
fréquence avec le fondamental.
Les
notes de la gamme à tempérament égal - que nous utilisons très
majoritairement dans la musique occidentale - nous viennent des
harmoniques et du cycle des quintes qui en est induit (pour faire
court, car l'origine des gammes et des tempéraments est aussi longue
que passionnante). Cependant, afin d'obtenir le même espace entre
chaque demi-ton, il a fallu s'écarter plus ou moins de la hauteur
produite naturellement par les harmoniques.
Ce
tableau indique l'intervalle entre le fondamental et les harmoniques,
en précisant l'écart entre l'harmonique et la note de la gamme à
tempérament égal la plus proche.
| Rang de l'harmonique | Intervalle tempéré le plus proche | Ecart avec l'intervalle de la gamme à tempérament égal le plus proche (en cent) | Note de la gamme tempérée la plus proche si le fondamental est un do0 |
| 1 | Unisson | 0 | do0 |
| 2 | Octave | 0 | do1 |
| 3 | Douzième | 2 | sol1 |
| 4 | Double octave | 0 | do2 |
| 5 | 2 octaves + 1 tierce | -14 | mi2 |
| 6 | 2 octaves + 1 quinte | 2 | sol2 |
| 7 | 2 octaves + 1 septième mineure | -31 | sib2 |
| 8 | 3 octaves | 0 | do3 |
| 9 | 3 octaves + 1 seconde | 4 | ré3 |
| 10 | 3 octaves + 1 tierce | -14 | mi3 |
| 11 | 3 octaves + 1 quarte augmentée | -49 | fa#3 |
| 12 | 3 octaves + 1 quinte | 2 | sol3 |
Pour
des raisons de justesse en tempérament égal, il est déconseillé
d'utiliser les harmoniques de rang 5, 7, 10 et 11. Dans le cas d'une
écriture en tempérament juste, seul l'harmonique de rang 11 est à
éviter.
Les fréquences du fondamental et des harmoniques en fonction de la position du doigt
Comme
nous avons pu le remarquer, pour un emplacement donné sur la corde,
si le musicien appuie franchement ou s'il l'effleure, le phénomène
physique et le son perçu peuvent être complètement différents.
- les ondes en traits continus noirs correspondent au son harmonique dans le cas où le musicien effleure la corde
- les ondes en traits pointillés rouges correspondent au son fondamental dans le cas où le musicien appuie franchement sur la corde
Dans le cas où
avec L la longueur totale de la corde, ln
la partie séparée non excitée et n un entier, nous
obtenons :
avec L la longueur totale de la corde, ln
la partie séparée non excitée et n un entier, nous
obtenons :- pour les harmoniques :
- pour le fondamental :
- ce qui nous permet d'avoir le rapport :
Pour les
premières divisions, nous obtenons alors :
| Division de la corde (1/n) | Fréquence fondamentale | Intervalle tempéré le plus proche | Fréquence de l'harmonique | Intervalle tempéré le plus proche |
| 1 | F | Unisson | Ø | Ø |
| 2 | 2 F | Octave | 2 F | Octave |
| 3 | 3/2 F | Quinte | 3 F | Douzième |
| 4 | 4/3 F | Quarte | 4 F | Double octave |
| 5 | 5/4 F | Tierce M | 5 F | 2 octaves + 1 tierce M |
| 6 | 6/5 F | Tierce m | 6 F | 2 octaves + 1 quinte |
| ... | ... | ... | ... | ... |
| 9 | 9/8 F | Seconde | 9 F | 3 octaves + 1 seconde |
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